Dua buah lingkaran yang berpusat di M dan N mempunyai panjang jari-jari 6 cm dan 3 cm, serta jarak

Soal

Dua buah lingkaran yang berpusat di M dan N mempunyai panjang jari-jari 6 cm dan 3 cm, serta jarak kedua pusatnya 15 cm. Garis singgung persekutuan dalamnya menyinggung kedua lingkaran di titik A dan B.

Diketahui:

• Dua buah lingkaran berpusat di M dan N dengan jari-jari 6 cm dan 3 cm, serta jarak antara pusat lingkaran 15 cm.
• Garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran menyinggung lingkaran di titik A dan B.

Ditanyakan: jarak terdekat kedua lingkaran.

Untuk mencari jarak terdekat kedua lingkaran, kita dapat menggunakan rumus:

$$d = |r_1 - r_2|$$

dengan $r_1$ dan $r_2$ adalah jari-jari lingkaran, dan $d$ adalah jarak terdekat antara kedua lingkaran.

Substitusikan nilai yang diketahui ke dalam rumus tersebut:

$$d = |6 \text{ cm} - 3 \text{ cm}| = \boxed{3 \text{ cm}}$$

Jadi, jarak terdekat kedua lingkaran adalah 3 cm.

Untuk menghitung panjang garis singgung, kita dapat menggunakan rumus:

$$t = \sqrt{(d-r_1-r_2)(d-r_1+r_2)(d+r_1-r_2)(d+r_1+r_2)}$$

Substitusi nilai yang diketahui:

$$\begin{aligned} t &= \sqrt{(d-r_1-r_2)(d-r_1+r_2)(d+r_1-r_2)(d+r_1+r_2)} \\ &= \sqrt{(15 - 6 - 3)(15 - 6 + 3)(15 + 6 - 3)(15 + 6 + 3)} \\ &= \sqrt{(6)(12)(18)(24)} \\ &= \sqrt{(2^3 \cdot 3)(2^2 \cdot 3)(2 \cdot 3^2)(2^3 \cdot 3)} \\ &= \sqrt{(2^{11} \cdot 3^5)} \\ &= \boxed{324\text{ cm}} \end{aligned}$$

Jadi, panjang garis singgung dari dua lingkaran tersebut adalah 324 cm.