Bentuk sederhana dari 2 cos 0 + cos 0 per sin 20 + cos 20 + 1 adalah​

Soal

Bentuk sederhana dari 2 cos 0 + cos 0 per sin 20 + cos 20 + 1 adalah​

Diketahui:

$$2\cos{0} + \frac{\cos{0} + \cos{20} + 1}{\sin{20} + \cos{20}}$$

Ditanyakan: Bentuk sederhana dari ekspresi di atas

Kita dapat menyederhanakan ekspresi tersebut dengan menggunakan identitas trigonometri:

$$\begin{aligned} \cos{0} &= 1 \\ \sin{20} + \cos{20} &= \sqrt{2}\cos\left(20 - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(20 + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}$$

Sehingga ekspresi awal dapat ditulis ulang menjadi:

$$\begin{aligned} 2\cos{0} + \frac{\cos{0} + \cos{20} + 1}{\sin{20} + \cos{20}} &= 2 + \frac{1 + \cos{20} + 1}{\sqrt{2}\sin\left(20 + \frac{\pi}{4}\right)} \\ &= 2 + \frac{2\cos^2{10}}{\sqrt{2}\sin\left(20 + \frac{\pi}{4}\right)\cos{10}} \\ &= 2 + \frac{\sqrt{2}\cos{10}}{\sin\left(20 + \frac{\pi}{4}\right)} \\ &= 2 + \frac{\sqrt{2}\cos{10}}{\sin{20} + \cos{20}} \\ &= \boxed{2 + \sqrt{2}\cot{20}} \end{aligned}$$