Diketahui fungsi f(x) = sin x + cos x . Tentukan nilai f (40°) menggunakan deret Mc Laurin​

Soal

Diketahui fungsi f(x) = sin x + cos x . Tentukan nilai f (40°) menggunakan deret Mc Laurin​

Diketahui fungsi $f(x) = \sin x + \cos x$

Ditanyakan: Nilai $f(40^\circ)$ menggunakan deret Maclaurin

Kita dapat mengaproksimasi nilai dari fungsi $f(x)$ menggunakan deret Maclaurin:

$$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \\ &= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots \end{aligned}$$

Untuk fungsi $f(x) = \sin x + \cos x$, turunan-turunan pada titik 0 adalah:

$$\begin{aligned} f(0) &= \sin 0 + \cos 0 = 1 \\ f'(0) &= \cos 0 - \sin 0 = 1 \\ f''(0) &= -\sin 0 - \cos 0 = -1 \\ f'''(0) &= -\cos 0 + \sin 0 = -1 \\ f^{(4)}(0) &= \sin 0 + \cos 0 = 1 \\ &\vdots \end{aligned}$$

Dengan demikian, deret Maclaurin untuk $f(x)$ adalah:

$$f(x) = 1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$$

Untuk mencari nilai $f(40^\circ)$, kita harus mengkonversi sudut tersebut ke dalam radian:

$$\theta = 40^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2}{9}\pi$$

Substitusi nilai $\theta$ ke dalam deret Maclaurin:

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 1 + \theta - \frac{\theta^2}{2} - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^4}{24} + \cdots \\ &= 1 + \frac{2}{9}\pi - \frac{1}{2} \left(\frac{2}{9}\pi\right)^2 - \frac{1}{6}\left(\frac{2}{9}\pi\right)^3 + \frac{1}{24}\left(\frac{2}{9}\pi\right)^4 + \cdots \\ &\approx \boxed{1.318}\end{aligned}$$

Jadi, nilai dari $f(40^\circ)$ menggunakan deret Maclaurin adalah sekitar 1.318.